انقباض طول، کوچک شدن طول اجسام در جهت حرکت برای ناظرهای متحرک، نسبت به ناظری است که آن جسم خاص را ساکن ارزیابی می کند. ناظر $S$ و $S’$ را در نظر بگیرید که میله ای نسبت به $S$ ساکن و نسبت به $S’$ متحرک است. می خواهیم طول میله در $S’$ و $S$ را مقایسه کنیم. برای اندازه گیری میله در ناظر متحرک، شرط این است که اندازه گیری محل مکانی دو سر این میله همزمان صورت گیرد. بنابراین $\Delta t’=0$ خواهد بود. از تبدیل لورنتس داریم:
$\begin{equation} \Delta x=\gamma \Delta x’ \tag{12.1} \label{eq:12.1} \end{equation}$
در این رابطه $\Delta x$ طول در ناظر ساکن است که آن را $L_0$ (طول همراه یا ویژه) و $\Delta x’$ طول در ناظر متحرک که آن را $L$ است. بنابراین رابطه ($\ref{eq:12.1}$) به شکل زیر مبدل می شود:
$\begin{equation} L=\frac{1}{\gamma} L_0 \tag{12.2} \label{eq:12.2} \end{equation}$
**مثال 12-1 |
|
میون ها ذرات ناپایداری اند که از در لایه های فوقانی جو (حدود $10$ کیلومتر بالاتر از سطح زمین) در اثر برخورد پرتوهای کیهانی با مولکول های حاضر ایجاد می شوند. نیم عمر میون $\tau = 2.2 \: \mu s$ است و این ذرات سرعتی در حدود $v=0.998c$ دارند. تعداد زیادی از این ذرات توسط آشکارسازهای سطح زمین رویت می شوند. در فصل 11، بررسی کردیم که از دید ناظر زمینی اتساع زمان رسیدن میون ها را توجیه می کند. از دید ناظر همراه میون چه اتفاقی می افتد؟ |
پاسخبرای ناظر همراه میون، انقباض طول رخ می دهد. طول فاصله ای که میون از لایه های فوقانی جو تا سطح زمین اندازه می گیرد به صورت زیر مطابق ($\ref{eq:12.2}$) منقبض می شود: $\begin{equation} d=\displaystyle{\sqrt{1-0.998^2}} (10000 \: m) = 632 \: m \tag{12.3} \label{eq:12.3} \end{equation}$ حال می توان زمان طی این مسافت را با تقسیم طول بر سرعت میون بدست آورد (دقت کنید که سرعت نسبی است و اینجا سرعت نزدیکی زمین به میون را داریم. زیرا که در ناظر همراه میون قرار گرفته ایم): $\begin{equation} t=\displaystyle{\frac{d}{v}}=\displaystyle{\frac{(632 \: m)}{(0.998 \times 3 \times 10^8 \: m/s)}}=2.1 \: \mu s \tag{12.4} \label{eq:12.4} \end{equation}$ که مقداری قابل مقایسه با نیم عمر میون است؛ بنابراین تعداد قابل توجهی از میون ها فرصت کافی برای رسیدن به سطح زمین را دارا می باشند. |
1-12 ارتباط اتساع زمان و انقباض طول
انقباض طول می تواند از اتساع زمان نیز استخراج شود. تصور کنید ناظر $S$، در ایستگاه قطار نشسته و ناظر $S’$ داخل قطاری نشسته که با سرعت $v$ نسبت به ایستگاه حرکت می کند. هردو می خواهند طول ایستگاه را اندازه گیری کنند. دو رویدادی که فاصله آن دو به عنوان طول ایستگاه ثبت می شود؛ در واقع رسیدن ناظر $S’$ به ابتدای ایستگاه و به انتهای ایستگاه است. با توجه به اینکه ایستگاه نسبت به $S$ ساکن است؛ او در حال اندازه گیری طول همراه یا ویژه است:
$\begin{equation} L_0 =v \Delta t \tag{12.5} \label{eq:12.5} \end{equation}$
با توجه به اینکه این دو رویداد برای ناظر $S’$ هم مکان است (در واقع از دید او، این ابتدا و انتهای ایستگاه هستند که فرامی رسند و او در صندلی خود، ساکن نشسته است). ناظر $S’$ زمان همراه یا ویژه را اندازه می گیرد $\Delta t’ = \Delta \tau$. طول ایستگاه در دستگاه او به صورت زیر است:
$\begin{equation} L =v \Delta \tau \tag{12.6} \label{eq:12.6} \end{equation}$
با توجه به اتساع زمان داریم $\Delta t = \gamma \Delta \tau$. با تقسیم ($\ref{eq:12.6}$) بر ($\ref{eq:12.5}$) نتیجه می شود:
$\begin{equation} \frac{L}{L_0}=\frac{v\Delta \tau}{v\Delta t}=\frac{1}{\gamma} \tag{12.7} \label{eq:12.7} \end{equation}$
که حاصل معادل ($\ref{eq:12.2}$) است.
تمرینات |
| *1- ارتفاع برج ایفل 330 متر است. در صورتی که یک فضاپیما با سرعت $v=0.99c$، موازی با برج به سمت فضا پرتاب شود؛ ارتفاع برج را چندمتر اندازه گیری خواهد کرد؟ قطاری سریع السیر که با همین سرعت در موازات زمین حرکت می کند؛ ارتفاع برج را چندمتر گزارش خواهد کرد؟
|
