این فصل به پیوستگی اختصاص دارد. نام پیوستگی، محتوای آن را به خوبی توصیف می کند. زمانی که نمودار تابع ترکی برندارد یا ضربه ای نخورد و چندپاره نشود می گوییم آن تابع پیوسته است! از همین می توان پی برد که مفهوم پیوستگی با حد ارتباط دارد.

1-39 تعریف

هرگاه بخواهیم پیوستگی تابع را در نقطه ای خاص بررسی کنیم؛ کافی است که حد تابع در آن نقطه با مقدار تابع برابر باشد:

(1)

$\large \displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)}=f(a) $

*مثال 39-1)

پیوستگی تابع روبه رو را در $x=0$ بررسی کنید.

$\large f(x)=\displaylines{\left\{\begin{matrix} x^2+1&x<0 \\ \sin(x) &x\geq 0 \end{matrix}\right.}$

پاسخ

محاسبه مقدار تابع ساده است:

$\large f(0)=\sin(0)=0$

حد راست تابع در $x=0$ با مقدار تابع برابر است؛ حد چپ را بررسی می کنیم:

$\large \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0^{-}}x^{2}+1}=1$

بدین ترتیب تابع در $x=0$ حد ندارد و پیوسته نیست.

2-39 پیوستگی از چپ و پیوستگی از راست

پیوستگی از چپ یا راست نکته جدیدی ندارد. در صورتی که حد چپ تابع با مقدار تابع در نقطه ای خاص برابر باشد؛ می گوییم تابع در آن نقطه از چپ پیوسته است:
(2)

$\large \displaystyle{\lim_{x\rightarrow a^{-}}f(x)}=f(a) $

در صورتی که حد راست تابع با مقدار تابع در نقطه ای خاص برابر باشد؛ می گوییم تابع در آن نقطه از راست پیوسته است:

(3)

$\large \displaystyle{\lim_{x\rightarrow a^{+}}f(x)}=f(a) $

پاسخ مثال 39-1، در نقطه مدنظر ما از راست پیوسته بود اما از چپ نه. اگر تابع هم از چپ و هم از راست، در نقطه ای خاص پیوسته باشد؛ آنگاه گوییم که تابع در آن نقطه پیوسته است. نقاطی در تابع که حد ندارند؛ کاندیدای مناسبی برای ناپیوستگی هستند!

3-39 جمع بندی فصل

در این فصل با پیوستگی آشنا شدیم. معمولا رسم نمودار نیز در بررسی پیوستگی کارآمد است. برخی از توابع مثلثاتی مانند تانژانت، دارای نقاط ناپیوستگی اند. به طور معمول این نقاط ناپیوستگی هم دارای نظم و تناوب اند (همانند خود تابع) که در تمرین 39-1، به آن می پردازیم.

*1- نقاط ناپیوستگی تابع $f(x)=\tan(x)$ را بیابید.

*2- تابعی با یک ضابطه بنویسید که در $x=1,x=2,x=3$ ناپیوسته باشد.