در این فصل می خواهم چند مفهوم جدید از دل همان چهارعمل اصلی بیرون بکشم. خوب است که کسر را بشناسیم، پس برویم سراغش!

1-2 کسر

کسر همه را به یاد کیک تولد می اندازد! بنظر برای رضایت تمامی میهمانان، باید به همه برشی با اندازه یکسان داد. این شبیه همان عمل تقسیم نیست؟ چرا. اما اگر 6 مهمان و 1 کیک داشته باشیم؛ باید 1 کیک را تقسیم بر 6 کرد. چه بد! دیگر عدد صحیحی نمی شناسیم که توصیف کننده سهم هرفرد با واحد کیک باشد. پس نیاز به اعدادی جدید داریم که مابین عددهای صحیح‌مان قرار بگیرند و مشکل را حل کنند.

2-2 نماد کسر

کسر از سه جزء صورت، خط کسری و مخرج تشکیل شده است. صورت کسر عددی است که تقسیم می شود و مخرج تعداد قسمت های مساوی است، خط کسری همانند نماد ÷ است:

(1)

$\Large a=\frac{x}{y}$

در ادامه سریعا چند عمل کسری را بررسی می کنیم:

3-2 جمع کسری

به سادگی زیر، با ضرب کردن صورت و مخرج هرکدام از کسرها در مخرج کسر دیگر، می توان مخرج های دوکسر را یکسان نموده و سپس صورت ها را باهم جمع کرد:

(2)

$\Large \frac{x}{y}+\frac{z}{t}=\frac{xt}{yt}+\frac{zy}{ty}=\frac{xt+zy}{yt}$

تفریق هم که یکجور جمع است و تنها علامت + در رابطه بالا به – تغییر می کند.

4-2 ضرب کسری

ضرب در کسرها ساده تر است، صورت در صورت و مخرج در مخرج:

(3)

$\Large \frac{x}{y} \times \frac{z}{t}=\frac{xz}{yt}$

 

5-2 تقسیم کسری

تقسیم دو کسر هم جالب است؛ این کار مثل ضرب کسر اول در معکوس کسر دوم(جابجایی صورت و مخرج کسر را معکوس کسر گوییم) است:

 

(4)

$\Large \frac{x}{y}\div \frac{z}{t}=\frac{xt}{yz}$

* مثال 2-1)

عبارت زیر را حل کنید:

$\Huge \frac{\frac{2}{3}+\frac{3}{5}}{\frac{1}{7}\times\frac{2}{5}}$

پاسخ

$\Huge \frac{\frac{2}{3}+\frac{3}{5}}{\frac{1}{7}\times\frac{2}{5}}=\frac{\frac{19}{15}}{\frac{2}{35}}=\frac{133}{6}$

 

6-2 توان

همانطور که چند جمع کنار هم ضرب را ساختند؛ چند ضرب کنار هم توان را می سازند؛ مثلا اگر عددی سه بار در خود ضرب شود به توان سه رسیده است:

(5)

$\Large a^{n}=a\times a \times … \times a$

7-2 ریشه

درست عکس عمل توان است؛ مثل اینکه عددی و تعداد ضرب های تکراری از عددی دیگر را به ما بگویند و آن عدد دیگر را از ما طلب کنند؛ این همان ریشه گیری است. مثلا عدد 81 و تعداد ضرب ها 4، خب حدس میزنم که می توان 3×3×3×3 نوشت یا (3-)×(3-)×(3-)×(3-). پس هم 3 و هم 3- اینجا مطلوب است.

 

همانطور که گفتم ریشه عکس توان است؛ در واقع بهتر و دقیق تر این است که بگویم ریشه گیری یک نوع به توان رساندن است. فقط در توان عبارت، صورت یک است و مخرج همان ضرب های تکراری که به ما گفته می شود. رادیکال حدودا همان ریشه است اما به طور قراردادی خروجی رادیکال را همیشه مثبت درنظر می گیریم که یک جواب داشته باشد:

(6)

$\Large a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$

* مثال 2-2)

ریشه دوم مثبت 84 بین چه اعداد صحیحی قرار دارد؟

پاسخ

از جدول ضرب می دانیم که 9×9=81 و 10×10=100 . پس ریشه دوم مثبت 84 باید عددی بزرگتر از 9 و کوچکتر از 10 باشد.

8-2 خواص توان و ریشه

در اینجا به طور فهرست‌وار چند ویژگی مهم توان و ریشه را ذکر می کنم:

(7)

$\Large (ab)^{n}=a^{n}b^{n}$

(8)

$\Large a^{n}a^{m}=a^{n+m}$

(9)

$\Large \frac{a^{n}}{a^{m}}=a^{n-m}$

روابط بالا برای ریشه هم برقرار است: (با توجه به رابطه 6)

 

9-2 جمع بندی فصل

در این فصل تاحدودی چند مفهوم مهم مثل کسر، توان و ریشه را دوره کردیم. ادامه خواهیم داد

 

ترتیب فصل	قبلی	فعلی	بعدی
عنوان	1 مقدمه	2 کسر و توان	3 مختصات