مشتق ؛ مشتق توابع نمایی و لگاریتمی

آموزش, آموزش ریاضی

در این مقاله قصد داریم با نحوه مشتق گیری از یک عبارت نمایی یا لگاریتمی آشنا شویم.

مشتق تابع نمایی

یکی از دلایل متعددی که به ما در فهم اینکه چرا عدد نپر عدد مهمی است کمک می کند این است که مشتق تابع نمایی طبیعی خودش است!

(1)

$\frac{d}{dx}(e^x)=e^x$

حال می خواهیم مشتق یک تابع نمایی در حالت کلی را با استفاده از مشتق تابع نمایی طبیعی بدست آوریم؛ برای اینکار نیاز به اتحاد لگاریتم در توان داریم:

$\\ a^x=(a^{\ln e})^x=(e^{\ln a})^x=e^{(\ln a) x} \\\rightarrow \frac{d}{dx}(a^x)=\frac{d}{dx}(e^{(\ln a) x})=(\ln a)e^{(\ln a) x} \\ \\ =(\ln a)(a^x)$

پس داریم:

(2)

$\frac{d}{dx}(a^x)=(\ln a)(a^x)$

مشتق لگاریتم

مشتق تابع لگاریتم طبیعی به صورت زیر است:

(3)

$\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}$

با در نظر گرفتن رابطه بالا می توان هر تابع لگاریتمی را با استفاده از اتحاد تغییر پایه، به تقسیم دو لگاریتم طبیعی تغییر داد و با استفاده از آن مشتق را به سادگی حساب کرد ( در اینجا توجه کنید که a و ln a هر دو عدد ثابت هستند ):

(4)

$\frac{d}{dx}(\log_{a} x)=\frac{d}{dx}(\frac{\ln x}{\ln a})=\frac{1}{(\ln a) (x)}$

*تمرین حل شده)

مشتق عبارت $f(x)=(\log_{3}x^2)(e^{5x})$ را محاسبه نمایید.

از مشتق زنجیره ای و چهار رابطه این مقاله استفاده می کنیم:

$\\ \frac{d}{dx}( \log_{3}x^2)=(2x)(\frac{1}{(\ln 3)(x^2)})=\frac{2}{(\ln 3)x} \\ \frac{d}{dx}(e^{5x})=5e^{5x}$

از مشتق ضربی استفاده می کنیم:

$\\ \frac{d}{dx}( \log_{3}x^2 e^{5x})=(\frac{2}{(\ln 3)x})(e^{5x})+(\log_{3}x^2)(5e^{5x})$

مسائل بیشتری می خواهید؟

بزودی

SCIENCIO

مشتق ؛ مشتق توابع نمایی و لگاریتمی

مشتق تابع نمایی

مشتق لگاریتم

مسائل بیشتری می خواهید؟

درگاه مشتق ؛ مشتق توابع نمایی و لگاریتمی در کوئستیو

دیدگاهتان را بنویسید لغو پاسخ