لگاریتم ؛ اتحاد های لگاریتمی

آموزش, آموزش ریاضی

در مقاله پیشین با مفهوم و تعریف لگاریتم آشنا شدیم؛ هدف از این مقاله، آشنایی با اتحاد ها و روابط پرکاربردی است که میان لگاریتم ها وجود دارد. اثبات این لگاریتم ها معمولا ساده است و با استفاده از تعریف لگاریتم و تبدیل آن به تابع نمایی صورت می پذیرد یا نتیجه ای از ترکیب دیگر اتحادهاست.

اتحاد ضرب به جمع و اتحاد تقسیم به تفریق

اتحاد بسیار پرکاربرد ضرب به جمع به صورت زیر است؛ در استفاده از سمت راست به چپ باید دقت شود که پایه دو عبارت جمع شونده یکسان باشد:

(1)

$\log_{b}(xy)=\log_{b}(x)+\log_{b}(y)$

بصورت مشابه برای تفریق به تقسیم داریم:

(2)

$\log_{b}(\frac{x}{y})=\log_{b}(x)-\log_{b}(y)$

*تمرین حل شده)

مقدار $\log_{2}(81)$ را بر حسب لگاریتم $\log_{2}(3)$ بدست آورید.

$\\ \log_{2}(81)=\log_{2}(9\times 9)=\log_{2}( 9)+\log_{2}(9)=2\log_{2}(3\times 3)\\ =2\left [ \log_{2}( 3)+\log_{2}(3) \right ] =4\log_{2}( 3)$

اتحاد های توان به ضریب

مستقل از اینکه پایه و یا آرگومان چه اعدادی باشند یا چه رابطه ای با یکدیگر داشته باشند؛ می توان توان هر یک را از لگاریتم خارج کرد. توان پایه به صورت معکوس پشت لگاریتم قرار می گیرد و توان آرگومان به همان صورتی که هست ضریب لگاریتم خواهد بود:

(3)

$\log_{b^n}(x)=\frac{1}{n}\log_{b}(x)$

(4)

$\log_{b}(x^n)=n\log_{b}(x)$

در سطرهای بعدی به معرفی چند رابطه پراهمیت دیگر میان لگاریتم ها می پردازیم:

برابری آرگومان و پایه

(5)

$\log_{b}(b)=1$

یک بودن آرگومان

این رابطه به سادگی از اتحاد توان به ضریب اثبات می شود:

(6)

$\log_{b}(1)=\log_{b}(b^0)=0$

همه چیز معکوس!

در این اتحاد، برای بدست آوردن مقدار معکوس یک لگاریتم، کافی است یک را تقسیم بر لگاریتمی کنیم که در آن جای پایه و آرگومان با یکدیگر عوض شده باشد:

(7)

$\log_{b}(x)=\frac{1}{\log_{x}(b)}$

تغییر پایه

یکی از کاربردی ترین اتحاد های لگاریتم، خصوصا هنگامیکه با یک ماشین حساب کار می کنیم. برخی از ماشین حساب ها از لگاریتم گیری بر پایه های مختلف پشتیبانی نمی کنند و تنها بر یک پایه خاص ( عدد 10 که با نماد log بدون نوشتن پایه نشان داده می شود و عدد e که لگاریتم آن با نماد ln نشان داده می شود ) کار می کنند. این رابطه می گوید که می توان یک لگاریتم را به حاصل تقسیم دو لگاریتم هم پایه تبدیل کرد:

(8)

$\log_{b}(x)=\frac{\log_{a}(x)}{\log_{a}(b)}$

لگاریتم در توان

فرمول کاربردی زیر در لگاریتمی که در توان یک عدد قرار گرفته شده برقرار است ( به ثابت ماندن پایه لگاریتم توجه شود )

(9)

$y^{\log_{b}(x)}=x^{\log_{b}(y)}$

*تمرین حل شده)

مقادیر مجهول در رابطه $\log 225 = a \log 5 + b \log 3$ را محاسبه نمایید.

$\\ \log 225 = \log 15^{2}=2 \log(3\times 5)=2 \log 3 + 2 \log 5 \\ a=b=2$

مسائل بیشتری می خواهید؟

بزودی

SCIENCIO