SCIENCIO

مثلثات ؛ اتحادهای جمع به ضرب و ضرب به جمع

آموزش, آموزش ریاضی, آموزش هندسه

در این مقاله می خواهیم با تبدیل جمع اتحاد های مثلثاتی دو زاویه به ضرب چند تابع مثلثاتی و بالعکس آن آشنا شویم. این اتحادها کاربردهای زیادی در اثبات های فیزیکی دارند.

جمع به ضرب

برای تبدیل مجموع یا تفریق سینوس های دو زاویه به ضرب دو مقدار مثلثاتی از اتحاد زیر استفاده می کنیم:

(1)

$\sin a \pm \sin b=2\sin \frac{a\pm b}{2}\cos \frac{a\mp b}{2}$

برای مجموع و تفریق کسینوس های دو زاویه دو اتحاد جداگانه وجود دارد:

(2)

$\cos a + \cos b=2\cos \frac{a+ b}{2}\cos \frac{a- b}{2}$

(3)

$\cos a - \cos b=-2\sin \frac{a+ b}{2}\sin \frac{a- b}{2}$

*تمرین حل شده)

cos 15 را محاسبه نمایید.

از رابطه سه و کسینوس 45 درجه استفاده می کنیم تا یک مجهول داشته باشیم.

$\cos 45^{\circ} - \cos 15^{\circ}=-2\sin 60^{\circ}\sin 30^{\circ}$

$\cos 15^{\circ}=0.97$

ضرب به جمع

تبدیل های ضرب به جمع نیز سه رابطه پرکاربرد هستند که به شرح زیر است:

(4)

$\sin a \cos b=\frac{1}{2}[\sin (a+ b)+\sin (a- b)]$

(5)

$\cos a \cos b=\frac{1}{2}[\cos (a+ b)+\cos (a- b)]$

(6)

$\sin a \sin b=-\frac{1}{2}[\cos (a+ b)-\cos (a- b)]$

*تمرین حل شده)

sin 22.5 را با تبدیل ضرب به جمع محاسبه کنید.

ساده ترین کار استفاده از رابطه شش است:

$\sin^2 22.5^{\circ}=-\frac{1}{2}[\cos (45^{\circ})-\cos (0^{\circ})]$

$\sin 22.5^{\circ}=0.38$

دیدگاهتان را بنویسید لغو پاسخ