مثلثات ؛ آشنایی با توابع مثلثاتی

آموزش, آموزش ریاضی, آموزش هندسه

مثلثات شاخه ای ریاضی است که روابط ما بین زوایا و اضلاع مثلث را بررسی می کند. بسیاری از علوم از جمله فیزیک به مثلثات وابسته هستند. مشهور است که برای اولین بار هیپارخوس (۱۹۰ سال قبل از میلاد – ۱۲۰ سال قبل از میلاد) منجم و ریاضی دان یونانی مثلثات را پایه ریزی کرده است.

هیپارخوس، منجم یونانی در نقاشی مکتب آتن اثر رافائل

توابع مثلثاتی

توابع مثلثاتی از جمله توابع پرکاربرد در ریاضیات و فیزیک می باشد و رفتار های نوسانی در طبیعت با آن مدل سازی می شود.

مجموع زاویه‌های داخلی مثلث برابر 180 درجه است؛ بنابراین در مثلث قائم‌الزاویه با داشتن مقدار یک زاویه تند، می‌توان مقدار زاویه دیگر را به دست آورد. با مشخص بودن زاویه‌ها می‌توان نسبت میان اضلاع را یافت. به این ترتیب، اگر اندازه یک ضلع معلوم باشد، اندازه دو ضلع دیگر قابل محاسبه است. نسبت میان اضلاع مثلث، با استفاده از توابع مثلثاتی زیر، محاسبه می‌شود. در شکل روبرو، برای زاویه تند A که مجاور وتر c و ضلع b و روبرو به ضلع a است، داریم:

تابع سینوس که به صورت حاصل تقسیم ضلع رو به روی زاویه به وتر تعریف می شود.

(1)

$\sin A=\frac{a}{c}$

تابع کسینوس که به صورت حاصل تقسیم ضلع مجاور زاویه به وتر تعریف می شود.

(2)

$\cos A=\frac{b}{c}$

تابع تانژانت که به صورت حاصل تقسیم ضلع رو به روی زاویه به ضلع مجاور زاویه تعریف می شود.

(3)

$\tan A=\frac{a}{b}$

تابع کتانژانت که به صورت حاصل تقسیم ضلع مجاور زاویه به ضلع رو به روی زاویه تعریف می شود.

(4)

$\cot A=\frac{b}{a}=\frac{1}{\tan A}$

تابع سکانت که به صورت حاصل تقسیم وتر به ضلع مجاور زاویه تعریف می شود.

(5)

$\sec A=\frac{c}{b}=\frac{1}{\cos A}$

تابع کسکانت که به صورت حاصل تقسیم وتر به ضلع رو به روی زاویه تعریف می شود.

(6)

$\csc A=\frac{c}{a}=\frac{1}{\sin A}$

روابط ابتدایی برقرار میان توابع مثلثاتی

در بررسی روابط ما بین توابع مثلثاتی بیشتر سه تابع سینوس، کسینوس و تانژانت مورد بررسی قرار میگرند؛ با توجه به رابطه فیثاغورث، با تقسیم کردن دو طرف تساوی فیثاغورث بر وتر به توان دو رابطه زیر بدست می آید:

(7)

$\sin^2 A+\cos^2 A=1$