حد ؛ حد چپ، حد راست و وجود حد

آموزش, آموزش ریاضی

در مقاله قبلی با مفاهیم اولیه حد آشنا شدیم. در تعریف حد گفتیم که روش کار ما این است که نقطه مدنظر را روی تابع از دو طرف محاصره نماییم تا بتوانیم حد مورد نظر را پیدا کنیم. این بار می خواهیم یک بار از چپ و یک بار از راست به نقطه مدنظر نزدیک شویم تا حد تابع را از دو طرف بررسی کنیم.

حد چپ

تابع (f(x را در نظر بگیرید، می خواهیم به مقدار حدی تابع در x=c دست پیدا کنیم. اگر از سمت منفی محور x یا سمت چپ c به آن نزدیک شویم می توانیم مقدار حد چپ تابع f را محاسبه نماییم.

(1)

$\lim_{x\rightarrow c^{-}}f(x)=M$

حد راست

تابع (f(x را در نظر بگیرید، می خواهیم به مقدار حدی تابع در x=c دست پیدا کنیم. اگر از سمت مثبت محور x یا سمت راست c به آن نزدیک شویم می توانیم مقدار حد راست تابع f را محاسبه نماییم.

(2)

$\lim_{x\rightarrow c^{+}}f(x)=N$

*تمرین حل شده)

تابع $f(x)=\begin{cases} x^{2}+1& \text{ } x<5 \\ 4x+2 & \text{ } x\geq 5 \end{cases}$ را در نظر بگیرید. حد چپ و حد راست تابع در x=5 را محاسبه نمایید.

برای حد چپ باید از سمت مقدار های کوچک تر از x=5 به آن نزدیک شویم؛ پس باید ضابطه بالا را انتخاب نماییم.

$\lim_{x\rightarrow 5^-}x^2 +1=26$

برای حد راست باید از سمت مقدار های بزرگ تر از x=5 به آن نزدیک شویم؛ پس باید ضابطه پایین را انتخاب نماییم.

$\lim_{x\rightarrow 5^+}4x+2=22$

همانطور که می بینید الزامی در برابری حد راست و حد چپ وجود ندارد.

وجود حد

حد زمانی موجود است که حد چپ و راست با یکدیگر برابر باشند و مقدار این دو حد عددی معین باشد (برای مثال حد چپ و راست بی نهایت نباشد که در آن صورت هم حد وجود ندارد) مقدار حد در این شرایط برابر با مقدار حد چپ و راست است.

اگر مقدار حد چپ با حد راست برابر نباشد، حد در آن نقطه وجود ندارد.

(3)

$\lim_{x\rightarrow c^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow c^-}f(x) =\lim_{x\rightarrow c}f(x)$

شکل بالا نشان دهنده نزدیک شدن به یک نقطه از چپ و راست است. همانطور که می بینید در نقطه x=2 حد وجود دارد و برابر با 4 است اما مقدار تابع در این نقطه برابر 6 است؛ پس الزامی در برابری حد با مقدار تابع وجود ندارد.

SCIENCIO

حد ؛ حد چپ، حد راست و وجود حد

دیدگاهتان را بنویسید لغو پاسخ