ضرب بردارها

آموزش, آموزش ریاضی, آموزش فیزیک, آموزش هندسه

از آنجایی که کمیت های نرده ای و برداری زیادی با این موضوع سروکار دارندضرب برداری از مهم ترین دانستنی ها برای یادگیری علم فیزیک و مهندسی است.

ضرب یک بردار در یک نرده ای

برای ضرب بردار $\vec{a}$ را در نرده ای s کافی است تمامی مشخصه های آن در عدد s ضرب شوند. اندازه بردار برابر با حاصل ضرب بزرگی بردار $\vec{a}$ در s است و جهت آن، اگر s مثبت باشد همسو با بردار $\vec{a}$ و اگر s منفی باشد ناهمسو با $\vec{a}$ خواهد بود.

$s.\vec{a}=(sa_{x},sa_{y},sa_{z})$

ضرب یک بردار با یک بردار

دو نوع ضرب بردار در بردار وجود دارد؛ حاصل ضرب ضرب داخلی نرده ای است و حاصل ضرب ضرب خارجی یک بردار است.

ضرب داخلی

ضرب داخلی، نقطه ای، اسکالر یا نرده ای، به صورت $\vec{a}.\vec{b}$ نوشته می شود

دو نحوه محاسبه این ضرب وجود دارد.

الف ) با داشتن سه مشخصه دو بردار

در صورت داشتن سه مشخصه بردار در سه جهت مختصاتی می توان آن ها را به صورت نظیر به نظیر در یک دیگر ضرب نمود و با هم جمع کرد.

$\vec{a}=(a_{x},a_{y},a_{z})$

$\vec{b}=(b_{x},b_{y},b_{z})$

$\vec{a}.\vec{b}=(a_{x},a_{y},a_{z}).(b_{x},b_{y},b_{z})=a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}$

ب ) با داشتن اندازه دو بردار و زاویه بین این دو

در صورت داشتن اندازه دو بردار و زاویه بین این دو بردار حاصل ضرب داخلی دو بردار قابل محاسبه است.

$\vec{a}.\vec{b}=\left | \vec{a} \right |\left |\vec{b} \right |cos\theta$

*تمرین حل شده)

حاصل ضرب نرده ای دو بردار a و b برابر با 16 بوده با توجه به اینکه اندازه بردار a برابر با 8 و اندازه بردار b برابر با 4 می باشد؛ زاویه بین دو بردار چند درجه است؟(در ربع اول مختصاتی)

$\vec{a}.\vec{b}=16=4.8.\cos \theta$

$\cos \theta=0.5$

$\theta =60^{\circ}$

ضرب خارجی

ضرب برداری یا خارجی به صورت $\vec{a}\times \vec{b}$ نمایش داده می شود که برداری به نام c ایجاد می کند که روش بدست آوردن آن متفاوت است.

بزرگی بردار c از رابطه زیر قابل محاسبه است؛ θ زاویه کوچکتر بین دو بردار می باشد.

$\vec{c}=\vec{a}\times \vec{b}=\left | \vec{a} \right |\left | \vec{b} \right |sin\theta$

برای تعیین جهت بردار نیز از قاعده ای به نام دست راست استفاده می کنیم، که در آن ابتدا دست را در جهت بردار a قرار داده سپس یکی یا هر چهار انگشت را سمت بردار b خم می کنیم؛ انگشت شست نشان دهنده جهت بردار است.

برای محاسبه مشخصات بردار می توان از دو روش دترمینان ماتریس و فرمولی محاسبه را انجام داد که هر دو در پایین اماده است:

$\vec{c}=\begin{vmatrix} i & j &k \\ a_{x}&a_{y} &a_{z} \\ b_{x}& b_{y} & b_{z} \end{vmatrix}=(a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y})\vec{i}-(a_{x}b_{z}-a_{z}b_{x})\vec{j}+(a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x})\vec{k}$

نکات

$\vec{b}\times \vec{a}=-(\vec{a}\times \vec{b})$

$\frac{\left |\vec{a}\times \vec{b} \right |}{\vec{a}.\vec{b}}= tan\theta$

*تمرین حل شده)

ضرب برداری دو بردار یکه i و j را تعیین جهت و اندازه کنید.

اندازه آن با توجه به فرمول ضرب خارجی برابر با یک است ( سه بار ضرب کردن یک )

دست را در جهت i و سپس چهار انگشت را به سمت j جمع می کنیم؛ جهت شست نشان دهنده k است.

SCIENCIO

ضرب بردارها

مسائل بیشتری می خواهید؟

درگاه ضرب بردارها در کوئستیو

دیدگاهتان را بنویسید لغو پاسخ