جمع و تفریق از مفاهیم اولیه است که در ریاضیات مقدماتی آموزش داده می شود. این مفهوم پایه و اساس بسیاری از محاسبات پیچیده‌تر در ریاضیات محسوب می‌شود و کسب مهارت در آن بسیار مهم است. فصل قبل که به شمارش پرداختیم؛ خود شمارش نیز به نوعی جمع و تفریق است. مثلا یکی یکی سیب های داخل یک جعبه را می شماریم و همواره به عدد قبلی یکی اضافه می کنیم.

شکل 2-1: چند عدد سیب برای شمردن!

برای جمع و تفریق کمی فراتر از شمردن با دست و چوب خط و…، ابتدا باید با اعداد دورقمی آشنا شویم. اعداد دو رقمی به طور دسته بندی می شوند که ابتدا دسته های ده تایی در چپ نوشته شده و سپس باقی مانده ها (که قطعا از ده کمترند) در راست نوشته می شود. مثلا در شکل 1-2، یک دسته ده تایی و 4 سیب تکی داریم. آن را به صورت $14$ می نویسیم. به عددی که تعداد دسته های ده تایی را نشان می دهد دهگان و به عددی که باقی مانده ها را نشان می دهد یکان می گوییم.

نوع نوشتن اعداد دو رقمی در زبان فارسی نیز بدین صورت است که ابتدا دهگان و سپس یکان نوشته می شود. در صورتی که یکان صفر باشد چیزی نوشته نمی شود. اعداد از 11 تا 19 نیز اسامی خاص خود را دارند. 11 (یازده)، 12 (دوازده)، 13 (سیزده)، 14 (چهارده)، 15 (پانزده)، 16 (شانزده)، 17 (هفده)، 18 (هجده)، 19 (نوزده). دهگان های دیگر نیز به این صورت است 20 (بیست)، 30 (سی)، 40 (چهل)، 50 (پنجاه)، 60 (شصت)، 70 (هفتاد)، 80 (هشتاد)، 90 (نود). به عنوان مثال 35 به صورت سی و پنج نوشته می شود.

جمع و تفریق اعداد دو رقمی را می توان به شکل نظام مند با استفاده از جمع و تفریق ستونی آموخت. در جمع دو عدد دو رقمی کافی است یکان ها را باهم جمع کنیم و دهگان ها را باهم. در صورتی که جمع دو یکان خود دورقمی باشد؛ یکان این دو رقمی را به عنوان یکان حاصل جمع می نویسیم و یکی به دهگان ها اضافه می کنیم و سپس دهگان ها را جمع می کنیم. به عنوان مثال جمع دو عدد $55+19$ به صورت زیر خواهد بود:

$\begin{array}{r} \overset{1}{5}5 \\ + 19 \\ \hline 74 \end{array}$

همانطور که می بینیم جمع $5+9=14$ است که $4$ را به عنوان یکان حاصل جمع نوشتیم و $1$ را به دهگان ها اضافه کردیم. در نهایت جمع $1+5+1=7$ دهگان حاصل جمع است. بنابراین جواب نهایی $74$ می باشد.

تفریق هم مشابه بالاست. ابتدا یکان ها را تفریق می کنیم؛ اگر این تفریق امکان پذیر نبود، 10 تا از دهگان قرض می گیریم و تفریق یکان ها را انجام می دهیم و سپس تفریق دهگان را انجام می دهیم. به عنوان مثال تفریق دو عدد $31-17$ به شکل زیر است:

$\begin{array}{r} 31 \\ – 17 \\ \hline \end{array}$

10 از دهگان قرض می گیریم، بنابراین باید یکی از دهگان کم شود و ده تا به یکان اضافه شود و سپس تفریق یکان ها و دهگان ها را انجام می دهیم:

$\begin{array}{r} 2\overset{11}{ \;} \\ – 17 \\ \hline 14 \end{array}$

بدین صورت جمع و تفریق اعداد دو رقمی ممکن می شود. با تمرین زیاد این روش، کم کم می توان این جمع و تفریق ها را به صورت ذهنی انجام داد.