میدان الکتریکی ناشی از یک خط باردار

آموزش, آموزش فیزیک

در مقاله قبل با خطوط میدان الکتریکی و میدان الکتریکی ناشی از یک ذره باردار آشنا شدیم. در این مقاله می خواهیم میدان ناشی از طیف پیوسته و نازکی از ذرات باردار را بررسی نماییم. با یک مثال مشهور این کار را انجام می دهیم؛ حلقه بسیار نازک باردار.

شکل بالا میدان ناشی از عنصر دیفرانسیلی باردار (مثبت) ds در فاصله z از مرکز حلقه و r از ds (نقطه P)

برای یافتن میدان الکتریکی ناشی از این حلقه باردار نازک در نقطه P (که روی محور مرکز قرار دارد)، ابتدا نیاز به یک رابطه داریم؛ بنابراین فرم دیفرانسیلی رابطه میدان الکتریکی ناشی از یک ذره باردار را می نویسیم:

(1)

$dE=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\frac{dq}{r^2}$

می دانیم که در این حلقه با طیفی پیوسته از بار طرف هستیم؛ پس باید پای یک چگالی خطی بار در میان باشد:

(2)

$dq=\lambda ds$

حال با استفاده از قضیه فیثاغورث r را بر حسب R و z در رابطه یک جایگذاری می کنیم؛ همچین رابطه دو را نیز جایگذاری می کنیم:

(3)

$dE=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\frac{\lambda ds}{z^2 + R^2}$

چون هر عنصر دیفرانسیلی ds دارای بار یکسان و فاصله یکسان از P است؛ معادله بالا بزرگی میدان حاصل از هریک از این عناصر را می دهد.

خنثی سازی مولفه های عمود بر محور z

با توجه به اینکه حلقه متقارن است پس بردار های میدان الکتریکی حاصل نیز متقارن خواهد بود. بنابراین هر dE زاویه ای مانند θ با محور z می سازد که مولفه های عمود بر محور z، با یکدیگر ساده می شوند. پس در اصل میدان در نقطه P فقط در جهت محور z خواهد بود و برابر با dE cosθ. از روابط هندسی داریم:

(4)

$\cos \theta = \frac{z}{r}=\frac{z}{\sqrt{z^{2}+R^2}}$

حال دو طرف رابطه بالا را در دو طرف رابطه 3 ضرب می کنیم.

(5)

$dE\cos \theta =\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\frac{z\lambda ds}{(z^2 + R^2)^{\frac{3}{2}}}$

چون باید روی کل حلقه انتگرال بگیریم؛ پس باید از s=0 تا s=2πR که کل محیط حلقه است انتگرال بگیریم:

(6)

$E=\int dE\cos \theta =\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\frac{z\lambda}{(z^2 + R^2)^{\frac{3}{2}}}\int_{0}^{2\pi R} ds$

با انتگرال گیری و همچین جایگذاری رابطه 2 به جای λ ( $\lambda=\frac{q}{2\pi R}$ ) و ساده سازی به رابطه زیر می رسیم که همان بزرگی میدان الکتریکی ناشی از حلقه در P است:

(7)

$E=\frac{qz}{4\pi \epsilon_{0}(z^2 + R^2)^{\frac{3}{2}}}$

جهت میدان الکتریکی بالا در صورت مثبت بودن بار رو به خارج حلقه و در صورت منفی بودن بار رو به داخل حلقه است.

*تمرین حل شده)

میدان الکتریکی ناشی از یک حلقه در فاصله دور از مرکز حلقه و روی محور مرکز چقدر است؟

با توجه به اینکه $z> > R$ می توان از R صرف نظر کرد، پس با ساده سازی صورت و مخرج داریم:

$E=\frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} z^2}$

انتظار رابطه بالا که همان قانون کولن است را داشتیم. زیرا حلقه بار از فواصل دور مثل یک بار نقطه ای بنظر می رسد.

SCIENCIO

میدان الکتریکی ناشی از یک خط باردار

خنثی سازی مولفه های عمود بر محور z

دیدگاهتان را بنویسید لغو پاسخ