دوران ؛ کمیت های دورانی

آموزش, آموزش فیزیک

برای بررسی دوران یک جسم حول یک محور ثابت، محوری فرضی را به عنوان محور مرجع، عمود بر محور ثابت دوران در نظر می گیریم؛ مکان زاویه ای این خط که با جسم می چرخد؛ از رابطه زیر محاسبه می شود:

(1)

$\theta =\frac{s}{r}$

که در آن s طول کمان دایره و r شعاع دایره است. اگر یک جسم یک دور حول محور بچرخد؛ کمان همان محیط دایره با اندازه 2πr است که با تقسیم بر r، زاویه 2π است.

جابجایی زاویه ای

جابجایی زاویه ای بنابر قرارداد در جهت پادساعتگرد (خلاف جهت عقربه های ساعت) مثبت و در جهت ساعتگرد منفی است.

(2)

$\Delta \theta =\theta _{2}-\theta _{1}$

سرعت زاویه ای

همانطور که توانستیم سرعت متوسط در حرکت انتقالی را با حاصل تقسیم جابجایی بر زمان تعریف کنیم؛ سرعت زاویه ای متوسط را نیز می توان با حاصل تقسیم جابجایی زاویه ای بر زمان تعریف کرد:

(3)

$\omega _{avg}=\frac{\Delta\theta }{\Delta t}$

با کوچکتر شدن دلتاها و میل دادن آنها به صفر، سرعت زاویه ای لحظه ای بدست می آید که حاصل مشتق مکان زاویه ای بر حسب زمان است که در آن زاویه تابعی از زمان می باشد:

(4)

$\omega =\frac{d\theta }{dt}$

که یکای سرعت زاویه ای، رادیان بر ثانیه یا دور بر ثانیه است.

شتاب زاویه ای

همانطور که توانستیم شتاب متوسط در حرکت انتقالی را با حاصل تقسیم تغییر سرعت بر زمان تعریف کنیم؛ شتاب زاویه ای متوسط را نیز می توان با حاصل تقسیم تغییر سرعت زاویه ای بر زمان تعریف کرد:

(5)

$\alpha _{avg}=\frac{\Delta \omega }{\Delta t}$

می توان از تشابه حرکت دورانی با حرکت انتقالی، روابط شتاب زاویه ای لحظه ای را بدست آورد. شتاب زاویه ای لحظه ای مشتق اول سرعت زاویه ای بر حسب زمان و مشتق دوم مکان زاویه ای بر حسب زمان است:

(6)

$\alpha =\frac{d \omega }{dt}=\frac{d^2 \theta}{d t^2}$

یکای شتاب زاویه ای، رادیان بر مجذور ثانیه یا دور بر مجذور ثانیه است.

*تمرین حل شده)

رابطه مکان زاویه ای به صورت $\theta (t)=3t^{2}-5t+4$ است. شتاب زاویه ای متوسط مابین t=2 و t=4 چقدر خواهد بود؟

ابتدا با مشتق گیری رابطه سرعت زاویه ای با زمان را بدست می آوریم؛ سپس مقدار سرعت زاویه در زمان های مذکور را محاسبه می کنیم و در فرمول شتاب زاویه ای متوسط قرار می دهیم:

$\\ \omega (t)=6t-5 \\ \omega(2)=7,\omega(4)=19 \\ \alpha_{avg} =\frac{19-7}{4-2}=6_{\frac{rad}{s^{2}}}$

برداری بودن کمیت های دورانی

با توجه به اینکه ترتیب در جمع برداری اهمیت ندارد؛ جابجایی زاویه ای نمی تواند کمیتی برداری باشد (مگر در اندازه های بسیار کوچک)، سرعت زاویه ای کمیتی برداری است و می توان برای یافتن آن از قانون دست راست بهره برد؛ اگر چهار انگشت دست راست را در جهت دوران بچرخانیم؛ انگشت شست نشان دهنده جهت بردار سرعت زاویه ای است:

شتاب زاویه ای نیز کمیتی برداری است و تابع قوانین برداری مانند جمع برداری می باشد.

مسائل بیشتری می خواهید؟

بزودی

SCIENCIO