در این فصل به جبر جابجاگر (Commutator Algebra) می پردازیم.
1-8 تعریف
جابجاگر دو عملگر $\hat{A}$ و $\hat{B}$ با $[\hat{A},\hat{B}]$ نمایش داده می شود. جابجاگر به صورت زیر تعریف می شود:
(1)
$\large [\hat{A},\hat{B}]=\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}$
پادجابجاگر (Anticommutator) $\{\hat{A},\hat{B}\}$ نیز به صورت زیر تعریف می شود:
(2)
$\large \{\hat{A},\hat{B}\}=\hat{A}\hat{B}+\hat{B}\hat{A}$
2-8 عملگرهای جابجاپذیر
هنگامی به دو عملگر جابجاپذیر می گوییم که جابجاگر این دو صفر باشد. به این ترتیب $\hat{A}\hat{B}=\hat{B}\hat{A}$ خواهد بود. هرعملگر با خودش جابجا می شود $[\hat{A},\hat{A}]=0$.
این نکته حائز اهمیت است: هرگاه دو عملگر هرمیتی باشند و حاصل ضرب آنها نیز هرمیتی باشد؛ دو عملگر باهم جابجا می شوند:
(3)
$\hat{A}\hat{B}=(\hat{A}\hat{B})^\dagger=\hat{B}^\dagger\hat{A}^\dagger=\hat{B}\hat{A}$
*مثال 8-1)
عملگرهای مکان $\hat{X}$ و تکانه $\hat{P}_x$ به صورت زیر تعریف می شود:
(4)
$\large \hat{X}=x \; , \; \hat{P}_x = -i\hbar\frac{\partial }{\partial x}$
حابجاگر $[\hat{X},\hat{P}_x]$ را بدست آورید.
پاسخ
برای محاسبه جابجاگر عملگرها، همواره خوب است یک تابع آزمون $f$ را جلوی جابجاگر قرار دهیم تا عملگرها بر روی آن اثر کنند:
$[\hat{X},\hat{P}_x]f=-i\hbar(x\frac{\partial f }{\partial x}-\frac{\partial xf }{\partial x})$
قاعده زنجیره ای در مشتق برای جمله دوم:
$=-i\hbar(x\frac{\partial f }{\partial x}-x\frac{\partial f }{\partial x}-f)=i\hbar f$
حال می توانیم تابع آزمون را نادیده بگیریم و نتیجه را با ضرب در یک عملگر یکه (برای موازنه عملگر بودن دو طرف تساوی) بنویسیم:
(5)
$\large [\hat{X},\hat{P}_x]=i\hbar \hat{I}$
این رابطه برای دیگر مولفه ها نیز برقرار است. (تمرین 69-1 به بررسی جابجایی عملگر مولفه های متفاوت مکان و تکانه می پردازد):
(6)
$\large [\hat{Y},\hat{P}_y]=i\hbar \hat{I} \; , \; \large [\hat{Z},\hat{P}_z]=i\hbar \hat{I}$
3-8 خواص جابجاگرها
خواص جابجاگرها اثبات پیچیده ای ندارند و با نوشتن تعریف جابجاگر و اندکی خلاقیت قابل دستیابی اند. تعدادی از آنها را فهرست می کنم:
پادتقارن : تغییر جای عملگرها در جابجاگر، به اندازه یک علامت منفی هزینه دارد:
(7)
$\large [\hat{A},\hat{B}]= -[\hat{B},\hat{A}]$
خطی بودن:
(8)
$[\hat{A},\hat{B}+\hat{C}+\hat{D}+…]=[\hat{A},\hat{B}]+[\hat{A},\hat{C}]+[\hat{A},\hat{D}]+…$
الحاقی هرمیتی جابجاگر:
(9)
$\large [\hat{A},\hat{B}]^\dagger=[\hat{B}^\dagger,\hat{A}^\dagger]$
توزیع پذیری:
(10)
$\large [\hat{A},\hat{B}\hat{C}]=[\hat{A},\hat{B}]\hat{C}+\hat{B}[\hat{A},\hat{C}]$
(11)
$\large [\hat{A}\hat{B},\hat{C}]=\hat{A}[\hat{B},\hat{C}]+[\hat{A},\hat{C}]\hat{B}$
اثبات (10)
جابجاگر سمت چپ تساوی (10) را حساب کرده، سپس یک $\hat{B}\hat{A}\hat{C}$ اضافه و کم می کنم. در نهایت از عملگرهای خارج از جابجاگر سمت راست تساوی (10) فاکتور می گیرم:
$[\hat{A},\hat{B}\hat{C}]=\hat{A}\hat{B}\hat{C}-\hat{B}\hat{C}\hat{A}$
$=\hat{A}\hat{B}\hat{C}-\hat{B}\hat{A}\hat{C}+\hat{B}\hat{A}\hat{C}-\hat{B}\hat{C}\hat{A}=[\hat{A},\hat{B}]\hat{C}+\hat{B}[\hat{A},\hat{C}]$
رابطه (11) نیز به طریقی مشابه اثبات می شود که موضوع تمرین 69-2 است.
جابجایی عملگر و اسکالر : عملگرها و اسکالرها همواره با یکدیگر جابجا می شوند. برای عملگر دلخواه $\hat{A}$ و اسکالر دلخواه $b$ داریم:
(12)
$\large [\hat{A},b]=0$
*مثال 8-2)
ثابت کنید که جابجاگر دو عملگر هرمیتی، همواره یک عملگر پادهرمیتی است.
پاسخ
برای دو عملگر هرمیتی $\hat{A}$ و $\hat{B}$، مطابق رابطه (9) در نظر بگیرید:
$[\hat{A},\hat{B}]^\dagger=[\hat{B}^\dagger,\hat{A}^\dagger]=[\hat{B},\hat{A}]$
از خاصیت پادتقارنی جابجاگر (رابطه (7)) داریم:
$[\hat{B},\hat{A}]=-[\hat{A},\hat{B}]$
با توجه به اینکه الحاقی هرمیتی عملگر جابجاگر، برابر با قرینه عملگر جابجاگر شده؛ بنابراین جابجاگر دو عملگر هرمیتی همواره پادهرمیتی است.
4-8 جمع بندی فصل
با جابجاگر و خواص آن آشنا شدیم. تمرینات این فصل در آشنایی بیشتر شما با جبرجابجاگرها بسیار موثر است.
| تمرینات فصل |
*1- ثابت کنید رابطه زیر برقرار است:
(13)
$\large [\hat{Y},\hat{P}_x]=0$
واضح است که هر دو مولفه متفاوتی برای عملگر مکان و عملگر تکانه نتیجه بالا را درپی خواهد داشت.
*2- رابطه (11) را اثبات کنید.
*3- برقراری تساوی زیر را اثبات نمایید:
(14)
$[\hat{A},[\hat{B},\hat{C}]]+[\hat{B},[\hat{C},\hat{A}]]+[\hat{C},[\hat{A},\hat{B}]]=0$
رابطه (14)، اتحاد ژاکوبی نام دارد.
