SCIENCIO

حد ؛ حد مثلثاتی

آموزش, آموزش ریاضی

در مقالات قبلی با انواع حد و همچنین مثلثات و اتحادهای آن آشنا شدیم؛ حال می خواهیم توابع مثلثاتی را در حد بررسی نماییم.

ابتدا یک مثال در استفاده از تجزیه در حد های مثلثاتی را بررسی می کنیم:

*تمرین حل شده)

حد $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos^{2}x}{1-\cos x}$ را محاسبه نمایید.

حد بالا یک حد مبهم صفر صفر است. کافی است صورت را با اتحاد مزدوج تجزیه نماییم:

$\\ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos^{2}x}{1-\cos x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{(1-\cos x)}\\ \\ = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1+\cos x}{1}=2$

هم ارزی

بدون اثبات می پذیریم که توابع مثلثاتی زیر هنگامی که x به سمت صفر میل کند با توابع رو به رو هم ارز است و در مواقع ضروری می توان به جای توابع مثلثاتی از توابع زیر استفاده کرد:

(1)

$\sin x \rightarrow x$

(2)

$\tan x \rightarrow x$

(3)

$\cos x \rightarrow 1-\frac{x^{2}}{2}$

البته هم ارزی های بالا در تمامی مسائل مفید نیستند و گاهی نمی توان از آن ها استفاده کرد.

*تمرین حل شده)

حد $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos x}{x^{2}}$ را محاسبه نمایید.

هم ارز کسینوس ایکس را قرار می دهیم:

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos x}{x^{2}}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{x^{2}}{2}}{x^{2}}=\frac{1}{2}$

گاهی تغییر متغیر مناسب ( متغیر جدیدی که به سمت صفر برود تا به توان از هم ارزی ها استفاده کرد ) کمک حال ما در حل مسائل حد خواهد بود.

*تمرین حل شده)

حد $\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2} }\frac{\tan (x-\frac{\pi}{2})}{x-\frac{\pi}{2}}$ را محاسبه نمایید.

تغییر متغیر مناسب را اعمال می کنیم:

$u=x-\frac{\pi}{2}$

پس از تغییر متغیر از هم ارزی استفاده می کنیم:

$\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2} }\frac{\tan (x-\frac{\pi}{2})}{x-\frac{\pi}{2}}=\lim_{u\rightarrow 0 }\frac{\tan u}{u}=1$

مسائل بیشتری می خواهید؟

بزودی:

درگاه حد ؛ حد مثلثاتی در کوئستیو

دیدگاهتان را بنویسید لغو پاسخ