مثلثات ؛ جمع و تفریق زوایا و نسبت های مثلثاتی

آموزش, آموزش ریاضی, آموزش هندسه

در این مقاله به رابطه های مثلثاتی جمع و تفریق زوایا در توابع مثلثاتی می پردازیم.

از مشهور ترین و پرکاربردترین روابط مثلثاتی، رابطه توابع مثلثاتی جمع و تفریق دو زاویه با توابع مثلثاتی هر یک از زاویه هاست. برای مثال با دانستن این روابط، می توانیم توابع مثلثاتی را برای برخی از زاویه هایی که حفظ نیستیم مانند 15 و 75 درجه را بدست آوریم.

رابطه سینوس مجموع یا تفریق دو زاویه بصورت زیر است:

(1)

$\sin (a\pm b)=\sin a \cos b\pm \cos a \sin b$

رابطه کسینوس نیز به شرح زیر است:

(2)

$\cos (a\pm b)=\cos a \cos b \mp \sin a \sin b$

*تمرین حل شده)

کسینوس 75 درجه را محاسبه کنید.

برای اینکار از مجموع دو زاویه که توابع مثلثاتی آن ها را می دانیم استفاده می کنیم؛ 30 و 45 درجه.

$\cos (30^{\circ}+ 45^{\circ})=\cos 30^{\circ} \cos 45^{\circ} - \sin 30^{\circ} \sin 45^{\circ}$

پس:

$\cos (75^{\circ})=(\frac{\sqrt{3}}{2})(\frac{\sqrt{2}}{2}) - (\frac{1}{2})(\frac{\sqrt{2}}{2})=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

از روابط یک و دو، به راحتی می توان رابطه توابع مثلثاتی دو برابر یک زاویه را با توابع مثلثاتی زاویه مورد نظر بدست آورد.

(3)

$\sin (2a)=2\sin a \cos a$

(4)

$\cos (2a)=\cos^{2}a-\sin^{2}a$

رابطه چهار به دو شکل پر کاربرد دیگر نیز نوشته می شود:

(5)

$\cos (2a)=-1+2\cos^{2}a$

(6)

$\cos (2a)=+1-2\sin^{2}a$

*تمرین حل شده)

سینوس 15 درجه را محاسبه نمایید.

از فرمول 6 استفاده می کنیم.

$-\cos (30^{\circ})+1=2\sin^{2}(15)$

$\sin(15^{\circ})=\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

چنین روابطی برای تانژانت مجموع یا تفریق دو زاویه نیز برقرار است:
(7)

$\tan(a\pm b)=\frac{\tan a \pm \tan b}{1\mp \tan a \tan b}$

و همینطور دو برابر یک زاویه:

(8)
$\tan(2a)=\frac{2\tan a}{1-\tan^2 a}$

همینطور که مشاهده می کنید راه های زیادی برای بدست آوردن نسبت های مثلثاتی وجود دارد. اما یکی این روابط، مسیر ما را برای بدست آوردن بسیاری از مقادیر مثلثاتی هموار می کند پس بهتر است که این روابط را به خاطر بسپاریم.

SCIENCIO

مثلثات ؛ جمع و تفریق زوایا و نسبت های مثلثاتی

دیدگاهتان را بنویسید لغو پاسخ