بردار یک شئ هندسی است که با دو ویژگی جهت و اندازه شناخته می شود. برداری دلخواه همانند $\vec{V}$ را نسبت به یک دستگاه مختصات دلخواه تجزیه و تعریف می کنیم.

1-1 تعریف

یک دستگاه مختصات متعامدبهنجار، که بردارهای پایه آن طول واحد دارند و برهم عمودند، به شکل زیر است:

$\begin{equation} \begin{aligned} \hat{e_1}.\hat{e_1}&=1 & \hat{e_2}.\hat{e_2}&=1 & \hat{e_3}.\hat{e_3}&=1 \\ \hat{e_1}.\hat{e_2}&=0 & \hat{e_2}.\hat{e_3}&=0 & \hat{e_3}.\hat{e_1}&=0 \\ \hat{e_1}\times\hat{e_2}&=\hat{e_3} & \hat{e_2}\times\hat{e_3}&=\hat{e_1} & \hat{e_3}\times\hat{e_1}&=\hat{e_2} \end{aligned} \tag{1.1} \label{eq:1.1} \end{equation}$

مولفه های بردار، از ضرب داخلی (تصویر) این بردارهای پایه در بردار دلخواه بدست می آید:

$\begin{equation} V_k = \hat{e}_k . \vec{V} \tag{1.2} \label{eq:1.2} \end{equation}$

به این صورت می توان بردار $\vec{V}$ را بر بردارهای پایه بسط داد (اندیس های یکسان به معنی جمع آن اندیس از 1 تا 3 است):

$\begin{equation} \vec{V} = V_k \hat{e}_k \tag{1.3} \label{eq:1.3} \end{equation}$

شکل 1-1، بردار دلخواه $\vec{V}$ در دستگاه مختصات متعامدبهنجار

2-1 طول و جهت بردار

طول بردار، برعکس مولفه ها، در همه دستگاه های مختصات یکسان است و می توان آن را به شکل زیر محاسبه نمود:

$\begin{equation} V=\sqrt{V_1^2 + V_2^2 + V_3^2} \tag{1.4} \label{eq:1.4} \end{equation}$

جهت بردار هم با برداری یکه یا واحد (طول یک) قابل تعریف است. به شکلی که حاصل تقسیم بردار بر طول خود می باشد:

$\begin{equation} \hat{V}=\frac{\vec{V}}{V}=\frac{1}{\sqrt{V_1^2 + V_2^2 + V_3^2}} (V_1 \hat{e}_1 + V_2 \hat{e}_2 +V_3 \hat{e}_3) \tag{1.5} \label{eq:1.5} \end{equation}$