معادله درجه دو

آموزش, آموزش ریاضی

معادله درجه دو به معادله ای گفته می شود که بزرگترین توان مجهولات آن دو باشد. برای حل این نوع معادلات از روش های گوناگونی استفاده می شود که استاندارد ترین آن روش دلتاگیری است؛ در این آموزش با معادله درجه دو و نحوه حل آن بیشتر آشنا می شویم.

روش حل

هر معادله درجه دو را می توان با استفاده از اعمال ریاضی به شکل استاندارد زیر درآورد:

$ax^{2}+bx+c=0$

روش کار، استفاده از دو فرمول برای پی بردن به مجهولات است؛ عبارت کاربردی زیر را دلتا می نامیم:

$\Delta=b^{2}-4ac$

با استفاده از دلتا می توان تعداد جواب های معادله در دستگاه اعداد حقیقی را معین نمود، اگر دلتا بزرگتر از صفر باشد؛ معادله دارای دو ریشه، اگر صفر باشد یک ریشه و اگر منفی باشد معادله در دستگاه اعداد حقیقی جواب ندارد.

حالا نوبت معرفی رابطه حل معادله است که مقادیر ریشه را به ما می دهد.

$x_{}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$

استفاده از هرکدام از علامت های مثبت و منفی یکی از ریشه ها را برای ما مشخص می نماید.

*تمرین حل شده)

جواب های معادله $2x^{2}-5x+2=0$ را بیابید.

ابتدا از معادله دلتا می گیریم:

$\Delta=25-4(2)(2)=9$

با توجه به اینکه دلتای معادله مثبت است؛ معادله دو ریشه دارد، پس جواب های معادله را بدست می آوریم:

$x_{}=\frac{5\pm 3}{4}$

$x_{1}=2,x_{2}=0.5$

چند رابطه تکمیلی نیز بین جواب های معادله درجه دو وجود دارد:

جمع و ضرب دو ریشه

به آسانی و با استفاده از تجمیع جواب های معادله درجه دو در حالت کلی می توان به روابط جمع و ضرب دو ریشه پی برد

جمع دو ریشه به این صورت است:

$x_{1}+x_{2}=\frac{-b}{a}$

و ضرب دو ریشه نیز بصورت زیر است:
$x_{1}.x_{2}=\frac{c}{a}$ *تمرین حل شده)

معادله درجه دویی بنویسید که در آن مجموع دو ریشه 2 و حاصل ضرب دو ریشه 3 باشد.

با توجه به اطلاعات سوال، روابط زیر بین معلومات معادله درجه دو برقرار است:

$b=-2a,c=3a$

به این نکته توجه کنید که حتما معادله درجه دو دارای ریشه در اعداد حقیقی نیست زیرا: $\Delta =4a^{2}-12a^{2}=-8a^{2}< 0$

پس الزامی برای وجود ریشه در اعداد حقیقی با مجموع و حاصل ضرب حقیقی ریشه ها وجود ندارد، معادله زیر می تواند یکی از اشکال معادله مفروض باشد:
$x^{2}-2x+3=0$

SCIENCIO

معادله درجه دو

دیدگاهتان را بنویسید لغو پاسخ